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  1. #1
    teostudioso
    Ospite

    Predefinito estremi di funzione in due variabili

    Salve a tutti.
    Ho un problema sullo studio degli estremi di una funzione in due variabili.

    f(x,y)= |xy|(x+y-1)

    Essendoci il modulo avevo pensato di spezzarlo e studiare separatamente il caso in cui xy>0, quello in cui xy<0 ed infine il caso xy=0.

    Per i primi due casi, non ho avuto problemi, ma non so come procedere nel terzo caso.

    Vi posto le soluzioni, così magari riuscite a farvi delle idee.

    (1/3;1/3) minimo [l’ho ricavato anch’io dallo studio di xy>0]
    (0;h) minimo, se h>1
    massimo, se h<1
    né minimo, né massimo, se h=1
    (k;0) minimo, se k>1
    massimo, se k<1
    né minimo, né massimo, se k=1

  2. #2
    Kredine
    Ospite

    Predefinito

    Dunque: se dividi così il problema (in base al segno di xy) hai tre diversi problemi, da risolvere in zone diverse del piano x-y.
    xy> 0 corrisponde ai quadranti 1-3.
    xy< 0 corrisponde ai quadranti 2-4.

    xy=0 corrisponde agli assi coordinati. per come l'hai scritta, la funzione dovrebbe valere 0 sugli assi, ossia sugli assi è costante.
    Comunque in questi problemi è molto opportuno immaginarsi come è fatta la funzione, come una superficie dello spazio. Ci vuole un po' di immaginazione, ma è il migior modo per fare le cose. Potresti immaginartela nel modo sbagliato, ma è proprio per questo che si fanno i calcoli.

    la funzione te la puoi immaginare abbastanza facilmente (se non la disegni con un programma tipo matlab o mathematica, che io formalmente Non posso dirti di scaricare con emule o di fartelo dare da qualcuno) e vedi che tra gli assi e la retta y=x+1 fa una conchetta (lì c'è il minimo che hai trovato). sugli assi è costante e pari a zero. i punti (0,1) e (1,0) sono delle specie di punti sella, sia "un passo" che il punto discriminante tra una "vallata"e una cresta. I punti della vallata sono di altezza minore o uguale rispetto ai punti circostanti, quindi possono essere considerati come delle specie di minimi, mentre i punti delle creste specularmente possono essere visti come delle specie di massimi. quindi tutto ok, più o meno.

    In generale in situazioni di questo tipo, ossia in presenza di linee di discontinuità, si usa il metodo dei moltiplicatori di lagrange per trovare i punti critici (oppure puoi verificare che il limite del vettore gradiente al bordo sia perpendicolare alla linea, parametrizzandola, trovando il vettore tangente e facendo il prodotto scalare con il limite del gradiente trovato ), dopo di che si parametrizza la linea in un intorno del punto trovato per vedere se si tratta di massimi o minimi. Se tu applichi questo procedimento, ti viene che tutti i punti degli assi sono punti critici, e che nessun punto è nè massimo né minimo, sulla linea. in effetti è proprio così, dato che la funzione è costante sugli assi.

    La mia opinione è che su una cosa piatta non ci sono massimi o minimi (che ne dici di un piano non inclinato?), ma a questo punto è una questione di definizione che forse tu sai meglio di me. comunque il metodo è quello fare il limite del vettore gradiente vicino alle linee di discontinuità (attenzione: la funzione deve essere differenziabile vicino alla linea di non differenziabilità, ossia l'insieme di non differenziabilià deve essere di misura dimimensionale nulla), vedere che è perpendicolare alla linea stessa e poi parametrizzare la linea studiando la derivata seconda.

  3. #3
    Senior
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    667

    Predefinito estremi

    f(x,y) = |xy|(x+y-1)
    Io farei cosi' :
    Distinguo i casi in cui xy >= 0 e xy < 0

    xy >= 0 f(x,y) = xy(x+y-1)
    ∂ f (x,y) / ∂ x = y(y+2x-1) ∂ f(x,y) / ∂ y = x(x+2y-1) (derivate parziali di f(x,y) )
    Adesso andiamo a cercare i punti critici di f(x,y) dato che condizione necessaria per punti di massimo e minimo e' che il gradiente di f(x,y) si annulli:
    ▼f(x,y) = [ y(y+2x-1) , x(x+2y-1) ] = (0,0)

    ║ y(y+2x-1) = 0
    ║ x(x+2y-1) = 0
    x=0 , y=0 , y+2x-1=0 diventa y=1-2x quindi x+2y-1 = x+2(1-2x) - 1 = x+2-4x-1 = -3x + 1 = 0
    3x = 1 x = 1/3 y = 1-2(1/3) = 1 - 2/3 = 1/3.
    I punti critici sono: (0,0) ; (0,1/3) ; (1/3;0) ; (1/3,1/3).
    Ora ci calcoliamo le derivate parziali seconde di f(x,y):
    ∂ ² f(x,y) / ∂ x² = 2y ∂ ² f(x,y) / ∂ y ∂ x = 2y+2x-1 ∂ ² f(x,y) / ∂ x ∂ y = 2x+2y-1 ∂ ² f(x,y) / ∂ y² = 2x
    Definiamo la matrice Hessiana come:

    H f(x,y) = │ ∂ ² f(x,y) / ∂ x² , ∂ ² f(x,y) / ∂ y ∂ x , ∂ ² f(x,y) / ∂ x ∂ y , ∂ ² f(x,y) / ∂ y² │

    Dobbiamo studiare il segno del determinante della matrice Hessiana nei punti critici:
    det H f(0,0) = det │ 0 , -1 , -1 , 0 │= -1 < 0 det H f(1/3,0) = det │ 0 , -1/3 , -1/3 , 2/3 │ = -1/9 < 0


    det H f(0,1/3) = det │2/3 , -1/3 , -1/3 , 0 │ = -1/9 < 0 det H f(1/3,1/3) = det │2/3 , 1/3 , 1/3 , 2/3 │ = 1/3 > 0


    La condizione sufficiente per l'esistenza di punti di massimo e di minimo ci dice che se il gradiente della funzione si annulla e il determinante Hessiano e' minore di zero in quel punto allora esso non e' ne' di massimo ne' di minimo per f sul dominio.
    Tale condizione ci dice anche che se in un punto (x0,y0) il gradiente si annulla ,
    la ∂ ² f(x0,y0) / ∂ x² > 0 e la ∂ ² f(x0,y0) / ∂ y² > 0 e det H f(x0,y0) > 0 allora (x0,y0) e' un punto di minimo relativo per f sul dominio.
    Quindi (1/3,1/3) e' sicuramente un punto di minimo relativo su R.

    xy < 0 f(x,y) = -xy(x+y-1) = xy(1-x-y)
    ∂ f (x,y) / ∂ x = y(1-2x-y) ∂ f(x,y) / ∂ y = x(1-x-2y)
    ▼f(x,y) = [ y(1-2x-y) , x(1-x-2y) ] = (0,0)
    ║ y(1-2x-y) = 0
    ║ x(1-x-2y) = 0
    x=0, y=0, 1-2x-y = 0 y = 1-2x 1-x-2y = 1-x-2(1-2x) = 1-x-2+4x = 3x - 1 = 0
    3x =1 x =1/3 y = 1-2(1/3) = 1-2/3 = 1/3
    I punti critici sarebbero (0,0) ; (0,1/3) ; (1/3,0) ; (1/3,1/3) . Ma siccome avevamo posto come condizione xy < 0 e' inutile studiare le derivate seconde e la matrice Hessiana in questi punti cosicche' l'unico estremo relativo e' quello che avevamo trovato prima , e cioe' (1/3,1/3) che , data la situazione , e' anche un punto di minimo assoluto.
    Ultima modifica di cristianz; 12-04-07 a 15:46

  4. #4
    teostudioso
    Ospite

    Predefinito

    ringrazio entrambi per l'aiuto

    teo

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