[Dbh69]

Consultazione:
Noti 2 vertici di un triangolo e noto l'ortocentro
è possibile determinare il vertice C.

Secondo me no.

[determinante]

Accidenti che bel quesito. Di primo acchito risponderei di no.

Sono abbastanza sicuro che se il problema stabilisse l'appartenenza del vertice C ad una retta data, allora si potrebbe risolvere.

Sono entrambe ipotesi da verificare, comunque.

[dadde1991]

ho provato a ragionarci anchio oggi... la mia risposta ti sembrerà banale. però se ci ragioni conoscendo in pratica solo un lato PENSO ci siano infiniti triangoli che hanno l'ortocentro in quel punto. magari mi sbaglio, se è così però ti chiedo di spiegarmi il perchè, dato che ci ho ragionato mezzo pomeriggio e non riesco a sconfessare questa mia ipotesi.

[determinante]

Retta passante per C e perpendicolare alla retta sostegno del segmento AB:

y = (xa - xb)(x - xc)/(yb - ya) + yc

Retta passante per B e perpendicolare alla retta sostegno del segmento AC:

y = (xa - xc)(x - xb)/(yc - ya) + yb


L'intersezione di queste due rette dovrebbe fornire le coordinate dell'ortocentro O (xo; yo).

(xa - xc)(xo - xb)/(yc - ya) + yb = (xa - xb)(xo - xc)/(yb - ya) + yc

Le incognite in questa equazione sono le coordinate del vertice C (xc; yc).

A questo punto, avendo noti 2 vertici e l'ortocentro, sappiamo sicuramente che il vertice C, opposto al lato AB, deve giacere sulla retta passante per l'ortocentro e perpendicolare alla base AB, che ha equazione:

y = (xa - xb)(x - xo)/(yb - ya) + yo

Risolvendo il sistema:

{ (xa - x )(xo - xb)/(y - ya) + yb = (xa - xb)(xo - x)/(yb - ya) + y
{ y = (xa - xb)(x - xo)/(yb - ya) + yo

Si dovrebbero trovare le coordinate del terzo vertice.

Non l'ho ancora verificato numericamente/graficamente in quanto le mie capacità di disegnatore accurato risultano poco affinate. E' difficile da visualizzare come problema.

[determinante]

Confermo. Funziona a dovere.

Un esempio... Ho provato che è possibile risolvere il seguente problema:
"Noti 2 vertici di un triangolo A (2; 3), B (0;0) e noto l'ortocentro O (4; -1) è possibile determinare il vertice C."

Il vertice C ha coordinate (10/7; 5/7 ).

Intersecando due altezze si verifica che l'ortocentro è proprio (4; - 1)

[dadde1991]

perfetto! ho detto una grande c***ata

[dadde1991]

Retta passante per C e perpendicolare alla retta sostegno del segmento AB:

y = (xa - xb)(x - xc)/(yb - ya) + yc

Retta passante per B e perpendicolare alla retta sostegno del segmento AC:

y = (xa - xc)(x - xb)/(yc - ya) + yb

cosa intendi per retta sostegno? e mi puoi spiegare le formule in grassetto? vista così non mi dice niente

[determinante]

Per retta sostegno intendo che è la retta su cui giace il segmento. O prolungamento del segmento, come la vuoi chiamare.

Conosci la formula della retta per un punto? Supponi di voler scrivere la formula del fascio di rette passanti per il punto C (xc; yc). Questo fascio è del tipo:

y - yc = m ( x - xc )

laddove m è il parametro coefficiente angolare.

Ora supponi che tra l'infinità di rette del fascio tu debba determinare quella perpendicolare al segmento AB. Anzitutto scrivi il coefficiente angolare della retta (sostegno del segmento) AB:

m(AB) = (yb - ya)/(xb - xa)

E prendi l'opposto del reciproco:

m = - [(yb - ya)/(xb - xa) ]^(-1) = (xa - xb)/(yb - ya)

E lo sostituisco nell'eq del fascio:

y = (xa - xb)/(yb - ya) * ( x - xc ) + yc

Ossia

y = (xa - xb)( x - xc )/(yb - ya) + yc


Analogamente determini l'altra...