Discussionelimiti logaritmo

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  1. #1
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    Predefinito limiti logaritmo

    Ho qualche dubbio sulle risoluzioni dei limiti quando c'è il logaritmo naturale.. pongo degli esempi.. perchè è probabile che la nostra prof non ce li abbia spiegati ma comunque vuole che li sappiamo.. ad esempio se trovo un limite di questo genere

    limx->+oo lnx = +oo

    guardando il grafico della funzione logaritmica con a >1 vedo che a +oo va a +oo

    poi ad esempio

    lim x->-oo lnx = non esiste giusto?
    come anche

    lim x->0- lnx = non esiste di nuovo?

    e

    lim x->0+ lnx = - oo questi vedendo il grafico della funzione logaritmica si possono notare facilmente.. ma io non capisco casi come questi

    es

    lim x->o+ ln[x/(x - 4)] = ln[(0+)/(-4)] = è ln di 0+??quindi -oo??

    oppure

    lim x->o- ln[x/(x - 4)] = ln[(0-)/(-4)] =è ln di 0-??

    oppure

    limx->4- ln[x/(x - 4)] = ln - oo quindi non esiste??non so se si è capito la tipologia di esercizi che non saprei bene come risolvere..Grazie in anticipo

  2. #2
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    Predefinito

    ciao...
    http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_limiti_notevoli

    esempio 1

    (log in base e)
    lim_(x->infinito) log((x+3)/ (x))

    soluzione:

    il limite è zero!
    per capirlo procediamo così:
    guardiamo l'argomento del logaritmo:
    (x+3)/x
    ora mettiamo in evidenza il termine d grado maggiore cioè in qst caso la x quindi
    [x(1+3/x)]/x
    essendoci la x sia al nominatore che al denominatore si semplifica e resta
    (1+3/x) ma 3/x per x tendente a infinito è 0
    quindi l'argomento del logaritmo si riduce semplicemente a 1+0=1
    quindi
    lim log(1)=0
    x->oo
    perchè il log di 1 è zero!ecco risolto il limite!

    esempio 2

    lim per x --> 0 di (log (1+x)) / ((3^x)-1)

    soluzione:

    dividi sia il nominatore che il denominatore per x,è la stessa cosa che dividere e moltiplicare per x,quindi x/x =1 quindi non cambia il risultato
    facendo come ti ho detto hai due limiti notevoli facilmente risolvibili e diventa
    lim(x-->0) (log(1+x)/x)/((3^x-1)/x)
    ora ricorda questi due limiti notevoli per x-->0
    log(x+1)/x il suo limite per x---->0 è =1
    mentre al denominatore
    a^(x)-1/x=ln(a) sempre per x--->0
    nel tuo caso a=3 quindi
    quindi nel tuo caso il limite sarebbe
    1/ln(3)


  3. #3
    Member
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    Predefinito

    Grazie mille per la spiegazione chiarissima e per gli esempi Comunque sicuramente mi sono spiegata male non è proprio quello che non avevo capito.. Grazie mille

  4. #4
    determinante
    Ospite

    Predefinito

    lim x->-oo lnx = non esiste giusto?

    lim x->0- lnx = non esiste di nuovo?
    Difficile a dirsi. Bisognerebbe mettersi d'accordo su una terminologia specifica.


    Più che non esistere, io direi che questi due limiti non hanno proprio senso. Infatti un certo limite per x -> c ha senso solo se il punto c è un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Ovviamente -oo non è di accumulazione per il dominio di ln(x). Chiaro?

    Possiamo metterci d'accordo e concordare che, per dire se un certo limite esiste o meno, il limite in questione deve comunque avere senso.

    E lascerei la non-esistenza a limiti come ad esempio:
    lim_[ x -> +oo ] sin(x)


    Ma qui vorrei leggere il parere di qualche emerito personaggio del forum...

  5. #5
    determinante
    Ospite

    Predefinito Limiti esemplificativi

    lim x->o+ ln[x/(x - 4)] = ln[(0+)/(-4)] = è ln di 0+??quindi -oo??
    Qua c'è qualcosa che non va...

    Infatti (0+)/(-4) è 0-
    Bada che a denominatore hai un numero negativo e al numeratore hai un numero che è comunque positivo. Il rapporto tende a 0 per valori negativi. Siamo in uno di quei casi in cui il limite non ha senso (non si può fare).

    lim x->o- ln[x/(x - 4)] = ln[(0-)/(-4)] =è ln di 0-??
    Qui invece l'argomento del logaritmo tende a 0+ per lo stesso motivo di prima. E qui sì che il limite ha senso ed esiste.

  6. #6
    Member
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    Predefinito ..

    grazie era questo che non capivo.. perchè io tendevo a guardare solo il numeratore.. grazie mille!

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